配方法解一元二次方程

有家健康网 2025-04-09阅读量：3651

完全平方公式法

配方法解一元二次方程是一种通过配方将方程转化为完全平方形式，再利用平方根性质求解的方法。以下是具体步骤和注意事项：

一、配方法的基本步骤

1. 移项与系数化简

   将方程移项，使左边为二次项和一次项，右边为常数项，并将二次项系数化为1（若不为1需先除以二次项系数）。

2. 配方操作

   在方程两边加上一次项系数一半的平方，使左边形成完全平方形式。例如，对于方程 $x^2 + 6x - 7 = 0$，需加上 $（\frac{6}{2}）^2 = 9$，得到 $（x + 3）^2 - 9 - 7 = 0$，即 $（x + 3）^2 = 16$。

3. 开平方求解

   对配方后的方程两边开平方，得到 $x + 3 = \pm 4$，解得 $x = 1$ 或 $x = -7$。

二、典型例题解析

例1 ：解方程 $x^2 - 8x + 1 = 0$

1. 移项并配方：
   $$x^2 - 8x = -1$$
   $$x^2 - 8x + 16 = -1 + 16$$
   $$(x - 4)^2 = 15$$

2. 开平方： $$x - 4 = \pm \sqrt{15}$$

3. 解得： $$x = 4 \pm \sqrt{15}$$

例2 ：解方程 $2x^2 - 7x - 4 = 0$

1. 先将二次项系数化为1： $$x^2 - \frac{7}{2}x - 2 = 0$$

2. 移项并配方： $$x^2 - \frac{7}{2}x = 2$$
   $$x^2 - \frac{7}{2}x + \left(\frac{7}{4}\right)^2 = 2 + \frac{49}{16}$$
   $$\left(x - \frac{7}{4}\right)^2 = \frac{81}{16}$$

3. 开平方： $$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{9}{4}$$

4. 解得： $$x = 4 \quad \text{或} \quad x = -\frac{1}{2}$$

三、注意事项

1. 移项时变号 ：移项后需改变符号，例如 $ax^2 + bx = c$ 需变为 $ax^2 = -bx + c$。

2. 常数项处理 ：配方时加上的常数项需是二次项系数一半的平方，即 $（\frac{b}{2a}）^2$。

3. 判别式验证 ：通过判别式 $b^2 - 4ac$ 可判断方程根的情况（大于0两个不等实根、等于0两个相等实根、小于0无实根）。

四、总结

配方法通过配方将一元二次方程转化为完全平方形式，简化了求解过程。关键在于正确移项、配方和开平方，同时需注意计算细节。对于复杂方程，可结合公式法或因式分解法辅助求解。