主成分权重计算公式

有家健康网 2025-04-15阅读量：6829

主成分分析（PCA）中主成分权重的计算通常涉及以下步骤和公式：

一、主成分分析的基本步骤

1. 数据标准化

   将原始数据标准化为均值为0、标准差为1的分布，公式为：
   $$z_{ij} = \frac{x_{ij} - \mu_j}{\sigma_j}$$

   其中，$x_{ij}$为原始数据，$\mu_j$为第j个特征的均值，$\sigma_j$为第j个特征的标准差。

2. 计算协方差矩阵

   标准化后数据计算协方差矩阵$\Sigma$，公式为：
   $$\Sigma_{ij} = \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^n z_{ik} z_{jk}$$

   其中，$n$为样本数量。

3. 特征值分解

   对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值$\lambda_i$和对应的特征向量$v_i$，公式为：
   $$\Sigma v_i = \lambda_i v_i$$

   特征值表示各主成分的方差大小，特征向量表示主成分方向。

4. 选择主成分

   

   根据特征值大小选择主成分，通常保留累计方差贡献率较高的主成分（如90%以上）。

二、主成分权重的计算公式

主成分的权重通常由载荷系数决定，计算公式为： $$w_i = \frac{a_{ij}}{\sqrt{\lambda_j}}$$

其中，

• $a_{ij}$为第i个原始变量在第j个主成分上的载荷系数（即标准化后协方差矩阵的特征向量元素）；

• $\lambda_j$为第j个主成分的特征值。 归一化处理 ：

若需将权重归一化至总和为1，可使用以下公式：
$$w_i' = \frac{w_i}{\sum_{k=1}^K w_k}$$

其中，$K$为保留的主成分数量。

三、示例说明

假设有3个原始变量，经过PCA分析后得到2个主成分，载荷系数矩阵为：
$$A = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.2 \ 0.4 & 0.6 \end{bmatrix}$$

特征值为$\lambda_1 = 2.0$，$\lambda_2 = 1.0$。则第1个主成分的权重为： $$w_1 = \frac{0.8}{\sqrt{2.0}} = 0.5657$$

第2个主成分的权重为： $$w_2 = \frac{0.2}{\sqrt{1.0}} = 0.2$$

通过上述步骤，主成分的权重反映了各原始变量对主成分的贡献程度，可用于后续的综合评价或降维分析。